BLOQUE III

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN ARITMÉTICA

Una sucesión $a_{1}, a_{2},...,a_{n},...$ es una sucesión aritmética si hay un número real

tal que para todo entero positivo

El número $d=a_{k+1}-a_{k}$ se le llama diferencial común de la sucesión.

Dada una sucesion aritmetica:

     k+1 = a+ d

para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común

es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

Teorema: fórmulas para $S_{n}$

Si $a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$ es una sucesión aritmética con diferencia común

, entonces la n-ésima suma parcial $S_{n}$ (esto es, la suma de los primeros

términos), está dada por

Demostración

Podemos escribir
$S_{n}=a_{1}+a_{2} +a_{3} +...+a_{n}$
$=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+...+[a_{1}+(n-1)d]$ .

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
$S_{n}=(a_{1}+a_{1}+a_{1}+...+a_{1})+[d+2d+...+(n-1)d]$ ,

con $a_{1} n$ veces dentro del primer par de paréntesis. Así
$Sn=na_{1}+d[1+2+...+(n-1)]$ .

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros n-1

enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros

enteros positivos, $S_{n}=n(n+1)/2$ , entonces tenemos

Sustituimos en la última ecuación por $S_{n}$ y factorizamos n/2

con lo cual

Puesto que $a_{n} = a_{1}+(n-1)d$ , la última ecuación es equivalente a

Historia de Gauss

LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión $a_{1}, a_{2},..., a_{n},...$ es una sucesión geométrica si $a_{1} \neq 0$ y si hay un número real $r \neq 0$ tal que para todo entero positivo

El número $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

Teorema: fórmula para hallar $S_{n}$

La n-ésima suma parcial $S_{n}$ de una sucesión geométrica con primer término $a_{1}$ y razón común $r \neq 1 es$

Demostración

Por definición, la n-ésima suma parcial $S_{n}$ de una sucesión geométrica es

                                     . (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por

obtenemos

                                   . (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:

factorizar ambos miembros.

dividir entre (1-r)

EJEMPLOS

Ejemplo #1

Pruebe que la sucesión $a_{n}={(3n-1)}$ cuando n pertenece a los numeros Enteros es una sucesión aritmética.

$a_{k+1} - a_{k}= d$

$[3(k+1)-2] - [3_{k} - 2]= d$

$3_{k} + 3 - 2 - 3_{k} + 2 = d$
3 = d

$a_{1}, (a_{1}+ d), (a_{1}+2d), (a_{1} + 3d), ...$ .

$\sum a_{n}= a_{1} + (a_{1}+ d) + (a_{1}+2d) + ...$ .

$S_{1}= a_{1}$ ,
$S_{2}= a_{1} + (a_{1}+d) = 2a_{1} + d$
$S_{3}= (2a_{1}+d) + (a_{1}+2d) = 3a_{1} + 3d$
$S_{4}= (3a_{1} + 3d) + (a_{1} + 3d) = 4a_{1} + 6d$

$S_{5}= 5a_{1} + 10d$
$S_{6}= 6a_{1} + 15d$

$S_{n}= na_{1} + (n! + 1) d$

$S_{n}= na_{1} + \frac{n(n+1)}{2} == S_{n} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d$

Suma hasta el n-esimo término.

$S_{n}= \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d]$

Generar el n-esimo término.

$a_{n}= a_{1} + (n -1)d$

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #2

Los tres primeros términos de una sucesión aritmética son 20, 16.5, 13, ...

Encuentre el 15º término.

$a_{15}= 20 + 14(-3.5)$

$a_{15}= -29$

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno es 20, indique el 6to término.

Identificamos $a_{n}$ conocidos, en este caso $a_{4}$ por ser el cuarto término y $a_{9}$ por ser el noveno termino.

$a_{4}= 5$ ------------> $a_{1} + 3d = 5$
$a_{9}= 20$ ----------> $a_{1} + 8d = 20$

Indentificamos el termino que queremos encontrar

$a_{6}= ?$

Operamos

$a_{1} = 5 - 3d$

$a_{1} + 3(3)= 5$
$a_{1}= 5 - 9$
$a_{1}= -4$

Sustituimos en el termino que queremos encontrar, es decir, $a_{6}$

$a_{6} = -4 + 5(3)$

$a_{6} = 11$

Ejemplo #4

    Si la sucesión es 1,0.3,0.09,0.027.... es geométrica encuentre la suma de los primeros 5 términos.

a1=1 r=o.3

$S_{5}= 1-(0.3exp5)/1-0.3=1.4251$

progresión aritmética

Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:

a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , .............., a_n donde la diferencia entre cualquier par de números consecutivos es siempre constante, es decir, a_n - a_n-1 = d para todo n . El término d se llama diferencia constante.

En la notación anterior se tendrá que:
a₁ : Es el primer término de la progresión.
d: Diferencia común.
n: Número de términos.

Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a₁ , a₁ + d , a₁ + 2d , a₁ + 3d ,.........., a₁ + ( n-1 )d. Como consecuencia de lo anterior, en una progresión aritmética, en la cuál la diferencia común es d y el primer término es a₁ se tiene que el enésimo término se denota por a n = a₁ + ( n-1 ) d.

Ejemplo 10.

La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cuál el primer término es 3 y la diferencia común es 3.

Ejemplo 11.

Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ........ .

Solución.

Se tiene que a₁ = 10, d = -3. Se sabe que a_n = a₁ + ( n-1 ) d. Por tanto, para n = 12, se tiene: a₁₂ = 10 + ( 12 - 1 ) x ( - 3 ) , o sea que a₁₂ = - 23.

Ejemplo 12.

Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre el primer término.

Solución

Como a_n = a₁ + ( n-1 ) d se tiene entonces:

Para n = 4. 14 = a₁ + 3 d.

Para n = 9. 34 = a₁ + 8 d

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a₁ = 2 y d = 4.

Ejemplo 13.

Encuentre una progresión aritmética de 7 términos cuyo primer término es 1/2 y cuyo último término es 13/2.

Solución

Se sabe que a₁ = 1/2, n = 7 y a_n = a₁ + ( n-1 ) d.

En nuestro caso se tiene: 13/2 = 1/2 + ( 7 - 1 ) d. Por tanto, 6 = 6 d o sea que d = 1. De lo anterior se tiene que la progresión aritmética es : 1/2 , 3/2 , 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2.

1.3.2. Suma de términos de una progresión aritmética. Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma: a₁ , a₁ + d , a₁ + 2d , a₁ + 3d ,.........., a₁ + ( n-1 ) d , su suma se expresa como S n = a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d + a₁ + 3d +..........+ a₁ + ( n-1 ) d . Se puede fácilmente demostrar que S n viene dada por la siguiente fórmula compacta:

S n =

SUCESIONES ESPECIALES

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado.
El segundo número es 2 al cuadrado (2² o 2×2)
El séptimo número es 7 al cuadrado (7² o 7×7) etc.

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo.
El segundo número es 2 al cubo (2³ o 2×2×2)
El séptimo número es 7 al cubo (7³ o 7×7×7) etc.

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se halla sumando los dos números delante de él.
El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)
El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)

¿Puedes averiguar algunos números más?

DIVERSAS CLASES DE NÚMEROS NATURALES

En la época de Pitágoras (Siglo -VI) y durante las edades Antigua y Media, se buscaban interpretaciones de los números naturales, que a veces eran de índole geométrica y a veces de índole religiosa o mística. Esto motivó que los números naturales se clasificaran de muchas maneras y se les dieran nombres especiales, unos han perdurado y otros se han olvidado.

Algunos ejemplos:

NÚMEROS PARES E IMPARES:

Los números pares son los siguientes:

0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; ......

que se pueden expresar, de manera general, por la fórmula:

número par = 2 . n ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , .....)

Lo cual quiere decir que dando a n todos los valores 0 , 1 , 2 , ..... se van obteniendo todos los números pares.

Los números impares son los siguientes:

1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; ...

¿Cómo podrías arreglar la fórmula de los pares para obtener impares? Discute con tus compañeros y escríbela en tu carpeta.

2. NÚMEROS TRIANGULARES:

Son los que se van obteniendo como vértices de triángulos equiláteros cuyos lados miden 0 , 1 , 2 , 3 , ..... unidades como indica la figura:

Ellos son los números:

1 , 1 + 2 = 3 , 1 + 2 + 3 = 6 , 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Observa, por tanto, que los números triangulares son los correspondientes a las sumas:

S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n ( n = 1 , 2 , 3 , 4 , .... )

Números cuadrados

Números pentagonales

Números hexagonales

http://www.proyectosalonhogar.com/Salones/Matematicas/Nuevo/aritmetica/numeros/Numpol.gif

Fractales

Números primos

Sucesión de Fibonacci: construcción gráfica

Progresiones y series aritméticas: definición y ejemplos

Progresiones y series geométricas: definición y ejemplos.

Progresiones geometricas indefinidas. Suma: "Aquiles y la tortuga"

Aplicaciones a la Matemática Financiera: Interés compuesto. Deudas.

Los números triángulares (3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n
Los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)
Los números pentagonales (5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)
Los números hexagonales (6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)
Y así sucesivamente.
En general, los números poligonales son enteros del tipo

.
Cuando b=1 se dice que es un número triangular, para b=2 cuadrados, para b=3 pentagonales.

Matemáticas 1

lunes, 30 de septiembre de 2013

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN ARITMÉTICA

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

Teorema: fórmulas para $S_{n}$

Demostración

Historia de Gauss

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

Teorema: fórmula para hallar $S_{n}$

Demostración

EJEMPLOS

Ejemplo #1

Ejemplo #2

Ejemplo #3

Ejemplo #4

SUCESIONES ESPECIALES

Números triangulares

Números cuadrados

Números cúbicos

Números de Fibonacci

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