BLOQUE IV

Polinomios de una variable[editar · editar código]

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\scriptstyle\mathbb{R}$ o $\scriptstyle\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y $n \in \mathbb{N}$ , entonces un polinomio, $P_{}^{}$ , de grado nen la variable x es un objeto de la forma

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Consideramos un “Polinomio” en el álgebra a aquella estructura finita conformada por uno o más términos.

Donde tales términos son denominados (Racionales enteros), cuando se afirma que los coeficientes se encuentran unidos con las incógnitas por medio de una operación unica, la multiplicación. Anexando que término a término se encuentran unidos bajo operaciones elementales: Suma y Resta.

Algunos textos citan a tales operaciones como “Conectores” o “Operaciones binarias”.

De lo contrario si las incógnitas se encuentran unidas con los coeficientes mediante el empleo de operaciones alternas a la multiplicación como es el caso de las operaciones: Radicación , División , etc. se acostumbra denominar a tal estructura como: Multinomio.

El hecho de la afirmación (Una variable) da a conocer que tal estructura se encuentra unicamente ligada bajo una sola clase de incógnitas como es el caso siguiente:

Donde claramente se puede observar que existe solo una clase las (x). Cabe recordar que denominamos incógnita a un valor desconocido y el proceso de obtener las raíces de un polinomio implica conocer el valor de las incógnitas.

Otros concepto clave dentro de todo esto es: coeficiente, el cual denota la cantidad de veces que se posee un mismo termino..

Partiendo del concepto de estructura algebraica con enfoque a la idea de polinomio se va creado una clasificación con el fin de facilitar el hecho de la identificación o bién la manipulación de estas con diversos propositos. Por ejemplo:

- Monomio -

Expresión algebraica con un solo término.

- Binomio -

Expresión algebraica con dos términos.

- Trinomio -

Expresión algebraica con tres términos.

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

FACTOR COMÚN

Representación gráfica de la regla defactor común. Forma un gnomon.

El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca$ y $cb$

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

CUADRADO DE UN BINOMIO

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo:

$(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

Agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

Luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

Véase también: Conjugado (matemática).

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y) = \,$

$(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

Agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

POLINOMIO AL CUADRADO

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

$(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,$

Ejemplo:

$(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

Multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

Agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

Luego:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

CUBO DE UN BINOMIO

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.

$(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,$

Ejemplo:

$(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,$

Agrupando términos:

$(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,$

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.

$(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,$

Ejemplo:

$(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,$

Agrupando términos:

$(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,$

Factorización de Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto

Un binomio de la forma a² + 2ab + b² se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Para identificarlo se debe verificar que tenga dos términos cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raiz cuadrada) con signo positivo y que el otro término sea el doble del producto de la raiz cuadrada de los términos cuadrados. Este ultimo término puede ser negativo o positivo. Se recomienda ordenar el trinomio escribiendo primero uno de los términos cuadrados, después el término del doble producto y finalmente el otro término cuadrado. La factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado y para realizarla se debe usar la identidad algebraica

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Esta identidad es la forma general. Para el caso particular en el cual 2ab tenga signo negativo se puede usar la siguiente identidad:

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Ejemplo. Encontrar los factores de x² + 4x + 4.

El primer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es x.
El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2.
El segundo término tiene signo positivo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. 2(x)(2) = 4x

A partir de las consideraciones anteriores se concluye que x² + 4x + 4 sí es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

Ejemplo. Factorizar la expresión 6pq - 4.5p² - 2q².
De primera instancia que esa expresión no es trinomio cuadrado perfecto, debido a que los dos términos que tienen variables al cuadrado son negativos. Si extraemos el factor −1, se puede reescribir la expresión como sigue:

6pq - 4.5p² - 2q² = (−1)(-6pq + 4.5p² + 2q²)

Si multiplicamos el primer factor por 1/2 y el segundo factor por 2 no se altera la expresión, porque 1/2 y 2 son recíprocos (su producto es 1).

6pq - 4.5p² - 2q² = (−1/2)(-12pq + 9p² + 4q²)

Para el segundo factor se tienen las siguientes consideraciones:

El segundo término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 3p.
El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2q.
El primer término tiene signo negativo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. 2(3p)(2q) = 12pq
Se puede cambiar el orden de los términos del segundo factor para escribirlo como un trinomio cuadrado perfecto.